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标题: 耍鸟一贱 [打印本页]

作者: choupiwen 时间: 2010-4-22 20:55 标题: 耍鸟一贱

（matrix67博客）

Math Horizons 杂志 2010 年 4 月刊上发表了一个有点搞笑的题目，很有些愚人节玩笑的味道。
观察下面这个分式方程：

图片附件: 1.png (2010-4-22 20:55, 6.21 KB) / 下载次数 8
http://www.csuchen.de/bbs/attachment.php?aid=385651&k=89166127bf0c56736edd7e1f7f9fd70e&t=1783863137&sid=WrRP4Y

作者: choupiwen 时间: 2010-4-22 20:55

它可以化简为 x^3 - 42x + 36 = 0 ，如果分式方程存在整数解，这个解一定是 36 的约数。把 36 的约数一个一个代进去便可得到，这个分式方程的唯一整数解为：

图片附件: 2.png (2010-4-22 20:55, 1.51 KB) / 下载次数 13
http://www.csuchen.de/bbs/attachment.php?aid=385652&k=a4b5316abc5493212a9bf4c55344a190&t=1783863137&sid=WrRP4Y

作者: choupiwen 时间: 2010-4-22 20:56

现在，你能快速求解出下面这个方程的整数解吗？

图片附件: 3.png (2010-4-22 20:56, 6.27 KB) / 下载次数 14
http://www.csuchen.de/bbs/attachment.php?aid=385653&k=1f4710ae2603892e3fdf304a5391de01&t=1783863137&sid=WrRP4Y

作者: choupiwen 时间: 2010-4-22 20:56

只需要注意到，新的分式方程是由原方程旋转 180 度得到的，因此它的解应该为：

图片附件: 4.png (2010-4-22 20:56, 1.58 KB) / 下载次数 15
http://www.csuchen.de/bbs/attachment.php?aid=385654&k=fe033f259ee93fd967badf5be3e1ced7&t=1783863137&sid=WrRP4Y

作者: choupiwen 时间: 2010-4-22 20:57

有意思的是，这个“推导”虽然是荒谬的，但 x = 9 真的就是第二个方程的唯一整数解！
来源：http://www.cut-the-knot.org/proofs/FalseSymmetry.shtml

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