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答案:
先考虑另一个问题:一个锐角为30度的直角三角形,绕A点旋转。何种情况下,旋转体的体积最大?如果一个物体的密度固定,那么体积越大,它的质量也越大。假设三角板是一块薄板,其质量可以简化为一个质点,比作一枚硬币。在桌上摆出,可以发现(显而易见),硬币越多,围成的圆的半径越大。题目相反,要总质量越大,就应尽可能增加质点围成的圆的半径。因此可以得到,当质点与旋转轴垂直时,旋转体体积最大。
根据上题发现,就可以简便方法求半径为R的半圆的质心X。一样的道理,一个实心的球可以看作是半圆旋转而成(准确的说是多插入N块相同的半圆围成球)。半圆的面质量是(p为密度)p*pai*r*r/2,通过质心法得到的球的质量为2*x*pai* p*pai*r*r/2;
另外通过普通办法p*pai*r*r*r*4/3也是球的质量。质量相等,则
2*x*pai* p*pai*r*r/2=p*pai*r*r*r*4/3
x* pai=r*4/3
X=4R/3pai
用这个方法,不需要微积分知识就可以很快的算出答案(即使用微积分也是蛮复杂的)。 |
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