[活动区] 经典力学三巨人！

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自然及自然定律深隐于黑夜之中； 上帝说：“让牛顿降生”，一切遂为光明。[36]

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艾萨克·牛顿爵士，FRS，（Sir Isaac Newton，1643年1月4日－1727年3月31日）[ 旧历：1642年12月25日－1727年3月20日][1]是一位英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士。他在1687年发表的论文《自然哲学的数学原理》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；从而消除了对太阳中心说的最后一丝疑虑，并推动了科学革命。
在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理。在光学上，他发明了反射式望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。
在数学上，牛顿与戈特弗里德·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究作出了贡献。
在2005年，皇家学会进行了一场“谁是科学史上最有影响力的人”的民意调查中，牛顿被认为比阿尔伯特·爱因斯坦更具影响力。[2]

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约瑟夫·路易斯·拉格朗日，(Joseph-Louis Lagrange，1736年1月25日－1813年4月10日)，是法国籍意大利裔数学家和天文学家。拉格朗日曾为普鲁士腓特烈大帝在柏林工作了20年，被腓特烈大帝称做"欧洲最伟大的数学家"，后受王法国国王路易十六的邀请定居巴黎直至去逝。拉格朗日一生才华横溢，在数学、物理和天文等领域做出了很多重大的贡献。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，创立了拉格朗日力学等等。
拉格朗日出生在意大利北部的都灵。他的父亲是撒丁岛王国的军事顾问，家境富裕且有较高的社会地位。然而大部分财产在拉格朗日长大之前由于某种原因失去了，迫使年轻的拉格朗日依靠自己的能力建立在当时社会上的地位。他曾就读于都灵大学，在17岁之前，拉格朗日对数学一点都不感兴趣。他对数学的兴趣和热情源于英国数学家爱德蒙·哈雷的一篇文章。从那以后，拉格朗日开始自学数学，在18岁就开始写数学论文，19岁就成为了都灵大学的讲师。
在19岁时，拉格朗日曾经给瑞士数学家欧拉写了一封信。在信中，他解开了等时曲线问题。在解题过程中，拉格朗日运用了一种十分先进的方法——变分法。欧拉不仅赞同他的解法，而且还十分看中这位年轻的数学家。这个解法使拉格朗日成为当时最有实力的数学家之一。
在1761年，拉格朗日已经成为当时公认的最出色的数学家，但由于过度工作加上缺少体育锻炼，他的健康状况十分糟糕。在医生的帮助下，虽然他的身体状况曾一度好转但他的精神却从没有恢复过来。自那以后，拉格朗日患上了很严重的忧郁症。
代数

• 群的阶是子集的阶的倍数
• 消去理论
• 将行列式的概念应用到非消去理论的范畴
• 拉格朗日插值多项式

数论

• 四平方和定理
• 证明配尔方程必存在解
• 证明威尔逊定理
• 创立二次型论
• 证明循环连分数均为二次无理数

微积分

• 拉格朗日乘子法
• 中值定理

力学

• 在1772年至1788年，他简化了经典力学中的一些公式和运算，并创建了自己的分支，称为拉格朗日力学（分析力学）。

天文

• 1764年，拉格朗日成功解释了为什么月球总是一面朝向地球。
• 1772年，发现拉格朗日点

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威廉·卢云·哈密顿爵士（Sir William Rowan Hamilton，1805年8月4日－1865年9月2日），爱尔兰数学家、物理学家及天文学家。哈密顿最大的成就在于发现了四元数，并将之广泛应用于物理学各方面。哈密顿对光学、动力学和代数的发展提供了重要的贡献。他的成果后来成为量子力学中的主干。
哈密顿还精通十二种语言。除了欧洲语言之外，他还懂得波斯语、马来语、阿拉伯语、梵文和中文等。主因是他在十三岁前都受其叔父语言学家詹姆斯·哈密顿照顾。哈密顿很喜欢文学，在大学期间，他不但修读数学，还有修读经典文学。
哈密顿力学是哈密顿于1833年建立的经典力学的重新表述。它由拉格朗日力学演变而来，那是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。但它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力学表述。关于这点请参看其数学表述。
适合用哈密顿力学表述的动力系统称为哈密顿系统。

数学上，一个辛流形是一个装备了一个闭、非退化2-形式ω的光滑流形，ω称为辛形式。辛流形的研究称为辛拓扑。辛流形作为经典力学和分析力学的抽象表述中的流形的余切丛自然的出现，例如在经典力学的哈密尔顿表述中，该领域的一个主要原因之一：一个系统的所有组态的空间可以用一个流形建模，而该流形的余切丛描述了该系统的相空间。
一个辛流形上的任何实值可微函数H可以用作一个能量函数或者叫哈密顿量。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场；该哈密顿向量场的积分曲线是哈密顿-雅戈比方程的解。哈密顿向量场定义了辛流形上的一个流场，称为哈密顿流场或者叫辛同胚。根据刘维尔定理，哈密顿流保持相空间的体积形式不变。

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从拉格朗日力学开始，运动方程基于广义坐标
而相应的广义速度为
通过延伸记号的意义，我们将拉格朗日函数写作
其中带下标的变量视为所有N个该类型的变量。哈密顿力学的目标是用广义动量（也称为共轭动量）变量取代广义速度。这样一来，就可能处理特定的系统，例如量子力学的某些方面，否则其表述会更复杂。
对于每个广义速度，有一个对应的共轭动量，定义为:
在直角坐标系中，广义动量就是物理上的线性动量。在极坐标中，对应角速度的广义动量就是物理上的角动量。对于广义坐标的任意选取，可能不能找到共轭动量的直观解释。
在依赖于坐标的表述中不太明显的一点是：不同的广义坐标实际上无非就是同一辛流形的不同坐标表示。
哈密顿量是拉格朗日量的勒让德变换：
若定义广义坐标的变换方程和t无关，可以证明H等于总能量E = T + V.
H的定义的每边各产生一个微分:
把前面共轭动量的定义代入这个方程并合并系数，我们得到哈密顿力学的运动方程，称为哈密顿正则方程:
哈密顿方程是一阶微分方程，因而比拉格朗日方程容易解，因为那个是二阶的。但是，导出运动方程的步骤比拉格朗日力学更繁琐 - 从广义坐标和拉格朗日量开始，必须先计算哈密尔顿量，用共轭动量来表达每个广义坐标，然后将共轭动量代入哈密顿量。总之，用哈密顿力学来解决问题不比用拉格朗日力学简单多少。最终，它们导致和拉格朗日力学和牛顿运动定律同样的解。
哈密顿方法的优点在于它提供了经典力学理论的更深刻结果的基础。
哈密顿系统可以理解为时间R上的一个纤维丛E,其纤维Et, t ∈ R是位置空间。拉格朗日量则是E上的jet丛(射流丛)J上的函数；取拉格朗日量的纤维内的勒让德变换就产生了一个时间上的对偶丛的函数，其在t的纤维是余切空间T*Et，它有一个自然的辛形式，而这个函数就是哈密顿量。
任何辛流形上的光滑实值函数H可以用来定义一个哈密顿系统。函数H称为哈密顿量或者能量函数。该辛流形则称为相空间。哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的矢量场，称为辛矢量场。
该辛矢量场，称为哈密顿矢量场，导出一个流形上的哈密顿流。该矢量场的一个积分曲线是一个流形的变换的单参数族；该曲线的参数通常称为时间。该时间的演变由辛同胚给出。根据刘维尔定理每个辛同胚保持相空间的体积形式不变。由哈密顿流到处的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。
哈密顿矢量场也导出一个特殊的操作，泊松括号。泊松括号作用于辛流形上的函数，给了流形上的函数空间一个李代数的结构。
特别的有，给定一个函数f
若我们有一个概率分布, ρ, 则(因为相空间速度()有0散度，而概率是不变的)其传达导数(convective derivative)可以证明为0，所以
这称为刘维尔定理。每个辛流形上的光滑函数G产生一个单参数辛同胚族，而若{ G, H } = 0, 则G是守恒的，而该辛同胚是对称变换。
哈密顿矢量场的可积性是未解决的问题。通常，哈密顿系统是混沌的；测度，完备性，可积性和稳定性的概念没有良好的定义。

哈密尔顿系统可以几种方式推广。如果不仅简单的利用辛流形上的光滑函数的结合代数，哈密尔顿系统可以用更一般的交换酉实泊松代数表述。一个状态是一个（装备了恰当的拓扑结构的）泊松代数上的连续线形泛函，使得对于代数中的每个元素A，A2映射到非负实数。
进一步的推广由Nambu动力学给出.

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hetty

牛顿老抢别人的成果，后半生都在打官司，人品不咋样的。

丢手绢

原帖由 hetty 于 2007-9-15 08:48 发表
牛顿老抢别人的成果，后半生都在打官司，人品不咋样的。

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１７　世纪　，１６８７年的中国人都干什么去了，

也不偷点　牛顿的书？

hetty

牛顿和莱布尼兹抢微积分的创始权，和胡克争万有引力定律……
至于中国，那时候大概对西方国家封闭着呢……

丢手绢

原帖由 hetty 于 2007-9-15 08:56 发表
牛顿和莱布尼兹抢微积分的创始权，和胡克争万有引力定律……
至于中国，那时候大概对西方国家封闭着呢……

１６８７　年的中国啊．．．．．．．．．
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hetty

原帖由 丢手绢 于 2007-9-15 09:04 发表





１６８７　年的中国啊．．．．．．．．．
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康熙年间吧，也还不错啊……
刚查了一下，我对年代没太多概念……

[ 本帖最后由 hetty 于 2007-9-15 09:17 编辑 ]