经典问题重温——称球问题!

兔子引言:前段时间曾经出现了一个称球模型的问题,当然那道题的解决跟我们这里主要谈论地称球问题有一定的区别,那道题是通过将10堆不同的硬币,每堆10个,每个1g,用一次称出那个重量为11g的。也就是说有差别的那堆每个硬币其实重1.1g。
人们采用第一对取一个,第二堆取两个……第10堆取10个,然后一次性称出来,得出的重量势必为一个小数(如果不是第10堆最重的话),小数点后的数字对应的就是区别于其他堆的那组数目。
经典的称球问题的经典形式是这样的:

  “有十二个外表相同的球,其中有一个坏球,它的重量和其它十
一个有轻微的(但是可以测量出来的)差别。现在有一架没有砝码的
很灵敏的天平,问如何称三次就保证找出那个坏球,并知道它比标准
球重还是轻。”


这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了。它的一种解法如
下:

将十二个球编号为1-12。

第一次,先将1-4号放在左边,5-8号放在右边。
  1.如果右重则坏球在1-8号。
    第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放
    在右边。就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边。
      1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号,
       则它比标准球轻;如果是5号,则它比标准球重。
        第三次将1号放在左边,2号放在右边。
          1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻;
          2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重;
          3.这次不可能左重。
      2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球轻。
        第三次将2号放在左边,3号放在右边。
          1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻;
          2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻;
          3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。
      3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球重。
        第三次将6号放在左边,7号放在右边。
          1.如果右重则7号是坏球且比标准球重;
          2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重;
          3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。
  2.如果天平平衡,则坏球在9-12号。
    第二次将1-3号放在左边,9-11号放在右边。
      1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。
        第三次将9号放在左边,10号放在右边。
          1.如果右重则10号是坏球且比标准球重;
          2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重;
          3.如果左重则9号是坏球且比标准球重。
      2.如果平衡则坏球为12号。
        第三次将1号放在左边,12号放在右边。
          1.如果右重则12号是坏球且比标准球重;
          2.这次不可能平衡;
          3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻。
      3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻。
        第三次将9号放在左边,10号放在右边。
          1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻;
          2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻;
          3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻。
  3.如果左重则坏球在1-8号。
    第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放
    在右边。就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边。
      1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球轻。
        第三次将6号放在左边,7号放在右边。
          1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻;
          2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻;
          3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻。
      2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球重。
        第三次将2号放在左边,3号放在右边。
          1.如果右重则3号是坏球且比标准球重;
          2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重;
          3.如果左重则2号是坏球且比标准球重。
      3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号。如果是1号,
       则它比标准球重;如果是5号,则它比标准球轻。
        第三次将1号放在左边,2号放在右边。
          1.这次不可能右重。
          2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻;
          3.如果左重则1号是坏球且比标准球重;

  够麻烦的吧。其实里面有许多情况是对称的,比如第一次称时的
右重和右轻,只需考虑一种就可以了,另一种完全可以比照执行。我
把整个过程写下来,只是想吓唬吓唬大家。

稍微试一下,就可以知道只称两次是不可能保证找到坏球的。如
果给的是十三个球,以上的解法也基本有效,只是要有个小小的改动,
就是在这种情况下,在第一第二次都平衡的时候,第三次还是有可能
平衡(就是上面的第2.2.2步),那么我们可以肯定坏球是13号球,可
是我们没法知道它到底是比标准球轻,还是比标准球重。如果给的是
十四个球,我们会发现无论如何也不可能只称三次,就保证找出坏球。

  一个自然而然的问题就是:对于给定的自然数N,我们怎么来解有
N个球的称球问题?

  在下面的讨论中,给定任一自然数N,我们要解决以下问题:
⑴找出N球称球问题所需的最小次数,并证明以上所给的最小次数的确
 是最小的;
⑵给出最小次数称球的具体方法;
⑶如果只要求找出坏球而不要求知道坏球的轻重,对N球称球问题解决
 以上两个问题;

  还有一个我们并不是那么感兴趣,但是作为副产品的问题是:
⑷如果除了所给的N个球外,另外还给一标准球,解决以上三个问题
Das Leben ist wie eine Schachtel Pralinen. Man weiß nie, was man bekommt!
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女口果人尔能看日月白这段言舌,那言兑日月人尔白勺目艮目青有严重白勺散光.

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五、四十个球的例子

最后我们来解决一下40个球,没有标准球的问题。我们知道
  40 = (34-1)/2
所以我们可以称4次找出坏球,但是因为没有标准球,就不一定能知道
坏球的轻重。

  顺便先考虑13个球,另有一标准球的问题。
   13 = (33-1)/2
所以称3次可以找出坏球,因为有标准球,我们还可以同时知道坏球的
轻重。

  根据上一节的证明过程,这时我们要把这13个球分为3堆:
  第一堆:1-5
  第二堆:6-9,再加上标准球s
  第三堆:10-13
我们把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。

  如果是左边重,那么要么是第一堆1-5号球中有一个是坏球,而且
它比标准球重,要么是第二堆6-9号球中有一个是坏球,那么它比标准
球轻。用结论1来解决的问题,第三节末尾我们处理过27个球的问题,
9个球的问题就是小菜了:

                           |--右--( 4重)
             |--右--(3 ; 4)|--平--( 6轻)
             |             |--左--( 3重)
             |
             |             |--右--( 8轻)
(1-2,6;3-4,7)|--平--(8 ; 9)|--平--( 5重)
             |             |--左--( 9轻)
             |
             |             |--右--( 2重)
             |--左--(1 ; 2)|--平--( 7轻)
                           |--左--( 1重)


  如果是右边重,那么和上面的情况对称,只要把策略树中的“左”
和“右”互换,“轻”和“重”互换即可。

  如果平衡,那么就化为4个球(10-13号)有一个标准球2次称出的
问题。虽然还可以往下照葫芦画瓢地递归一次,不过4个球的情况就太
简单了,所以直接写出策略树:

                          |--右--(10轻)
            |--右--(10;11)|--平--(12重)
            |             |--左--(11轻)
            |
            |             |--右--(13轻)
(10,11;12,s)|--平--(13; s)|--平--(    )
            |             |--左--(13重)
            |
            |             |--右--(11重)
            |--左--(10;11)|--平--(12轻)
                          |--左--(10重)


  把左中右三个分支拼起来我们就得到13个球有一标准球称3次的策
略树:

                                   |--右--( 1轻)
                     |--右--(1 ; 2)|--平--( 7重)
                     |             |--左--( 2轻)
                     |
                     |             |--右--( 9重)
       |--右--(1-2,6;|--平--(8 ; 9)|--平--( 5轻)
       |       3-4,7)|             |--左--( 8重)
       |             |
       |             |             |--右--( 3轻)
       |             |--左--(3 ; 4)|--平--( 6重)
       |                           |--左--( 4轻)
       |
       |                           |--右--(10轻)
       |             |--右--(10;11)|--平--(12重)
       |             |             |--左--(11轻)
       |             |
       |             |             |--右--(13轻)
(1-5;  |--平--(10,11;|--平--(13; s)|--平--(    )
6-9,s)|        12,s)|             |--左--(13重)
       |             |
       |             |             |--右--(11重)
       |             |--左--(10;11)|--平--(12轻)
       |                           |--左--(10重)
       |
       |                           |--右--( 4重)
       |             |--右--(3 ; 4)|--平--( 6轻)
       |             |             |--左--( 3重)
       |             |
       |             |             |--右--( 8轻)
       |--左--(1-2,6;|--平--(8 ; 9)|--平--( 5重)
               3-4,7)|             |--左--( 9轻)
                     |
                     |             |--右--( 2重)
                     |--左--(1 ; 2)|--平--( 7轻)
                                   |--左--( 1重)

  现在可以考虑40个球,无标准球的问题了。根据上一节的证明过
程,我们首先拿掉第40号球,使之变为39个球的问题。然后我们把这
39个球分为3堆:
  第一堆:1-13
  第二堆:14-26
  第三堆:27-39
把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。

  如果是右边重,那么要么是第一堆1-14号球中有一个是坏球,而
且它比标准球重,要么是第二堆15-27号球中有一个是坏球,那么它比
标准球轻。这恰好是第三节末尾我们解决过的例子!这个策略树分支
我们可以完全拷贝过来。

  如果是左边重,那么和上面的情况对称,只要把策略树中的“左”
和“右”互换,“轻”和“重”互换即可。

  如果平衡,那么问题转化为本节开始的13个球,有一标准球的问
题(可取1号球为标准球),上面的策略树也可拷贝过来,只是要把原
来的1-13号球和这里的27-39号球一一对应(只要把所有的号码加26即
可)。

  把左中右三个策略分支合并起来,并考虑到如果所有称量结果都
是平衡的话,则第40号球为坏球的结论。我们就得到了下面的关于称
40个球的巨无霸策略树,它有81片叶子:

                                                |--右--( 1轻)
                                  |--右--(1 ; 2)|--平--( 3轻)
                                  |             |--左--( 2轻)
                                  |
                                  |             |--右--(18重)
                    |--右--(1-3;  |--平--(17;18)|--平--( 7轻)
                    |         4-6)|             |--左--(17重)
                    |             |
                    |             |             |--右--( 4轻)
                    |             |--左--(4 ; 5)|--平--( 6轻)
                    |                           |--左--( 5轻)
                    |
                    |                           |--右--(23重)
                    |             |--右--(22;23)|--平--(24重)
                    |             |             |--左--(22重)
                    |             |
                    |             |             |--右--(26重)
      |--右--(1-7,  |--平--(19-21;|--平--(25;26)|--平--(27重)
      |       15-16;|       22-24)|             |--左--(25重)
      |        8-14,|             |
      |       17-18)|             |             |--右--(20重)
      |             |             |--左--(19;20)|--平--(21重)
      |             |                           |--左--(19重)
      |             |
      |             |                           |--右--( 8轻)
      |             |             |--右--(8 ; 9)|--平--(10轻)
      |             |             |             |--左--( 9轻)
      |             |             |
      |             |             |             |--右--(16重)
      |             |--左--(8-10; |--平--(15;16)|--平--(14轻)
      |                     11-13)|             |--左--(15重)
      |                           |
      |                           |             |--右--(11轻)
      |                           |--左--(11;12)|--平--(13轻)
      |                                         |--左--(12轻)
      |
      |                                         |--右--(27轻)
      |                           |--右--(27;28)|--平--(33重)
      |                           |             |--左--(28轻)
      |                           |
      |                           |             |--右--(35重)
      |             |--右--(27-28,|--平--(34;35)|--平--(31轻)
      |             |          32;|             |--左--(34重)
      |             |       29-30,|
      |             |          33)|             |--右--(29轻)
      |             |             |--左--(29;30)|--平--(32重)
      |             |                           |--左--(30轻)
      |             |
      |             |                           |--右--(36轻)
      |             |             |--右--(36;37)|--平--(38重)
      |             |             |             |--左--(37轻)
      |             |             |
      |             |             |             |--右--(39轻)
(1-13;|--平--(27-31;|--平--(36,37;|--平--(39; 1)|--平--(40坏)
14-26)|     32-35,1)|        38,1)|             |--左--(39重)
      |             |             |
      |             |             |             |--右--(37重)
      |             |             |--左--(36;37)|--平--(38轻)
      |             |                           |--左--(36重)
      |             |
      |             |                           |--右--(30重)
      |             |             |--右--(29;30)|--平--(32轻)
      |             |             |             |--左--(29重)
      |             |             |
      |             |             |             |--右--(34轻)
      |             |--左--(27-28,|--平--(34;35)|--平--(31重)
      |                        32;|             |--左--(35轻)
      |                     29-30,|
      |                        33)|             |--右--(28重)
      |                           |--左--(27;28)|--平--(33轻)
      |                                         |--左--(27重)
      |
      |                                         |--右--(12重)
      |                           |--右--(11;12)|--平--(13重)
      |                           |             |--左--(11重)
      |                           |
      |                           |             |--右--(15轻)
      |             |--右--(8-10; |--平--(15;16)|--平--(14重)
      |             |       11-13)|             |--左--(16轻)
      |             |             |
      |             |             |             |--右--( 9重)
      |             |             |--左--(8 ; 9)|--平--(10重)
      |             |                           |--左--( 8重)
      |             |
      |             |                           |--右--(19轻)
      |             |             |--右--(19;20)|--平--(21轻)
      |             |             |             |--左--(20轻)
      |             |             |
      |             |             |             |--右--(25轻)
      |--左--(1-7,  |--平--(19-21;|--平--(25;26)|--平--(27轻)
              15-16;|       22-24)|             |--左--(26轻)
              8-14, |             |
              17-18)|             |             |--右--(22轻)
                    |             |--左--(22;23)|--平--(24轻)
                    |                           |--左--(23轻)
                    |
                    |                           |--右--( 5重)
                    |             |--右--(4 ; 5)|--平--( 6重)
                    |             |             |--左--( 4重)
                    |             |
                    |             |             |--右--(17轻)
                    |--左--(1-3;  |--平--(17;18)|--平--( 7重)
                              4-6)|             |--左--(18轻)
                                  |
                                  |             |--右--( 2重)
                                  |--左--(1 ; 2)|--平--( 3重)
                                                |--左--( 1重)
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四、问题的解答

现在我们就可以来回答第一节中的问题了。

结论2:现有N个小球,其中有一个坏球不知比标准球轻还是重。
我们令H={log3(2N)}。
1)要保证在N个球中找出坏球并知道其轻重,至少需要称H次。

  假设N≠2,我们有
2)如果N<(3H-1)/2,那么称H次就足够了;
3)如果N=(3H-1)/2,那么称H次足以保证找到坏球,但不足以保
 证知道坏球比标准球轻还是重;
4)如果N=(3H-1)/2,而且还另有一个标准球,那么称H次足以保
 证找到坏球和知道,知道坏球比标准球轻还是重。

  假设N=2,我们有
5)如果还另有一个标准球,称H={log3(2*2)}=2次足以保证找到
 坏球和知道坏球比标准球轻还是重。

  5)看起来有点奇怪,不过这其实很显然。如果有超过两个球,我
们知道坏球是“独一无二”的那一个,总找得出来;但是如果只有两
个球,一个好球一个坏球,都是“独一无二”的,如果没有一个标准
球的话,我们无论如何不可能知道哪个才是好的。

  首先假设结论成立,我们来看看几个具体例子。如果是12个球,
那么
  H = {log3(2*12)} = 3,
而且
  12 < (33-1)/2 = 13。
所以根据2)我们知道称3次可以找出坏球并知其轻重。如果是13个球,
那么
  H={log3(2*13)}=3,
而且
  (33-1)/2=13。
根据3)我们知道称3次可以找出坏球但不一定能知其轻重。但是如果另
有一个标准球的话,称3次就可找出坏球且知其轻重。

  一般地,能由H次称量找出坏球并知道其轻重的最大小球数量为
  (3H-1)/2-1 = (3H-3)/2;
能由H次称量找出坏球但不需要知道其轻重的最大小球数量为
  (3H-1)/2;
有一标准球,能由H次称量找出坏球并知道其轻重的最大小球数量也为
  (3H-1)/2。
为了比如说为了找出坏球并知道其轻重,则3次最多可以称12个,4次
为39个,5次为120个,6次为363个等等;为了找出坏球却不需知道其
轻重,则3次最多可以称13个,4次为40个,5次121个,6次364个等等
——但是如果另有一个标准球,那么就可以用相同的次数来知道坏球
的轻重。

  首先我们证明至少需要称{log3(2N)}次。这和上节类似问题的证
明几乎相同。我们看到,N个小球可能的布局是2N种(1重,2重,……,
N重,1轻,2轻,……,N轻)。所以相应策略树至少需要有2N片叶子。
但是一棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子。于是这棵策略树必
须满足条件
  H ≥ {log3(2N)}。

  现在我们来证明3)的后半部分:如果N=(3H-1)/2,那么称H次还
是不足以保证知道坏球比标准球轻还是重。

  我们知道第一步称量一定是各放n(这里2n≤N)个球在天平两端,
然后看天平的状况再决定后面的步骤。此时有三种情况
1)如果天平平衡,那么坏球就在剩下的N-2n个球里。这时候根据1),
 我们还需要{log3(2(N-2n))}次来找到坏球并知其轻重;
2)如果是左边重,则要么是坏球比较轻,而且坏球在右面n个球里,
 要么是坏球比较重,而且坏球在左面n个球里。这时根据结论1,我
 们还要{log3(2n))}次来找到坏球并知其轻重;
3)如果是右边重,那么有和上面类似的结论,我们还要{log3(2n))}
 次来找到坏球并知其轻重。

  如果我们在H次里可以称出坏球并知其轻重,那么我们必然要有
  {log3(2(N-2n))} ≤ H-1 和 {log3(2n))} ≤ H-1
但前一个式子表明
  2(N-2n) ≤ 3H-1
也就是
  2((3H-1)/2-2n) ≤ 3H-1
所以
  3H-1 ≤ 2n+1/2
考虑到3H-1为整数,于是
  3H-1 ≤ 2n
但3H-1又是奇数,而2n是偶数,所以
  3H-1 < 2n。    (*)
而后一个式子表明
  2n ≤ 3H-1
同样考虑到奇偶性
  2n < 3H-1。    (**)
我们看到(*)和(**)式是矛盾的。

  所以对N=(3H-1)/2的情况,只用H步是不能够称出坏球又知道它
的轻重的。它的原因在于,虽然理论上N=(3H-1)/2,那么可能的布局
是(3H-1)种,而一棵H层的策略树有3H片叶子,看起来叶子足够多了。
但是由于第一步的称量无论如何也不可能把这3H-1种布局平均地分配
在左中右三棵子策略树上,总有一个分支上承受的布局会超过3H-1种,
于是在此分支上就无法用剩下的H-1次称量来称出坏球又知道它的轻
重。

  接下来我们同时证明结论2中的2)、4)和5)。也就是说,我们要具
体找到一种策略,如果N<(3H-1)/2,那么不用标准球在H次内找到坏
球又知道它的轻重的;如果N=(3H-1)/2或者N=2,则允许使用一个标
准球来达到同样目的。仍旧使用数学归纳法。

  首先对N=1,{log3(2N)}=1且N=(31-1)/2,允许使用标准球。因
为只有一个球,而题目的条件是有一个坏球,所以这唯一的一个就是
坏球,现在只需要知道它比标准球重还是轻。这只要把标准球和这个
小球在天平上比较一次就可以了,策略树如下(我们用s表示标准球):

      |--右--(1轻)
(1; s)|--平--(   )
      |--左--(1重)

  对N=2和N=3,{log3(2N)}=2。我们给出下面高度为2的策略树,
很容易验证其正确性。

N=2,允许使用标准球:

      |--右--(1轻)
      |            |--右--(2轻)
(1; s)|--平--(2; s)|--平--(   )
      |            |--左--(2重)
      |--左--(1重)

N=3:

                   |--右--(1轻)
      |--右--(1; 3)|--平--(2重)
      |            |--左--(   )
      |
      |            |--右--(3轻)
(1; 2)|--平--(1; 3)|--平--(   )
      |            |--左--(3重)
      |
      |            |--右--(   )
      |--左--(1; 3)|--平--(2轻)
                   |--左--(1重)


  现在假设对小于N的情况,称法都已经找到。考虑N(现在假定N>3)
个小球的情况。仍记H={log3(2N)}。

  首先如果N<(3H-1)/2,我们把N个球分成三堆:第一堆和第二堆
中分别有{N/3}个球,第三堆中为剩下的球,有N-2{N/3}个。我们把第
一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。

  三种情况:

  如果天平平衡,那么坏球在第三堆的N-2{N/3}个里,问题归结为
N-2{N/3}个小球,称H-1次,而且此时我们可以随便从第一或第二堆里
拿出一个球来作标准球。但是
  N-2{N/3} ≤ 3{N/3}-2{N/3} = {N/3}
但由N<(3H-1)/2有
  N ≤ (3H-1)/2-1 = (3H-3)/2
所以
  N/3 ≤ (3H-1-1)/2
右边一定是一个整数,所以我们最终得到
  N-2{N/3} ≤ {N/3} ≤ (3H-1-1)/2。
根据归纳假设,在有标准球的情况下,N-2{N/3}个球的问题可被H-1次
的称量解决。

  如果左边重,则要么是坏球比较轻,而且坏球在右面{N/3}个球里;
要么是坏球比较重,而且坏球在左面{N/3}个球里。这时根据结论1,我
们还要{log3(2{N/3}))}次来找到坏球并知其轻重。和上面的计算完全
一样,
  N/3 ≤ (3H-1-1)/2
于是
  2{N/3} ≤ 3H-1-1
  {log3(2{N/3}))} ≤ H-1
所以仍旧可以用剩下的H-1次称量解决问题。

  如果右边重,完全类似于左边重的情况。

  现在考虑N=(3H-1)/2的情况,这时允许用一个标准球。我们可以
把球分成三堆。第一堆为(3H-1+1)/2个,第二堆为(3H-1-1)/2个
再加上标准球,所以第二堆一共也是(3H-1+1)/2个球,第三堆是剩
下的
  (3H-1)/2-(3H-1+1)/2-(3H-1-1)/2 = (3H-1-1)/2
个球。我们把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。

  三种情况:

  如果天平平衡,那么坏球在第三堆的(3H-1-1)/2个里。根据归
纳假设,在有标准球的情况下,这可被H-1次称量解决。

  如果左边重,则要么是坏球比较轻,而且坏球在右面(3H-1+1)/2
个球里;要么是坏球比较重,而且坏球在左面除了附加的标准球以外
的(3H-1-1)/2个球里。这时根据结论1,我们还要
  {log3(3H-1+1)/2+(3H-1-1)/2)} = H-1
次来找到坏球并知其轻重。所以这也可以用剩下的H-1次称量来解决问
题。

  如果右边重,完全类似于左边重的情况。

  这就完全证明了结论2中的2)、4)和5)。剩下的就是3)的前半部分:
如果N=(3H-1)/2,那么称H次足以保证找到坏球(但可能不知道轻重)。

  这很简单,如果我们拿掉一个球,那么根据2),一定能用H次称量
来找到坏球并且知道轻重——唯一的例外是,如果被拿掉的那个恰好
就是坏球——那么这时候所有称量的结果都是天平保持平衡。如果发
生了这样的事,所有称量的结果都是天平保持平衡,我们就可以断定
坏球就是那个被拿掉的球,当然这时这个球从来没有上过天平,我们
绝无可能知道它是比标准球重,还是比标准球轻。
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三、每个球都已知可能为轻或可能为重的情况

先引入一个记号:对于任意实数a,我们用{a}表示大于等于a的最
小整数,比如说{2.5}=3,{4}=4;我们用[a]表示小于等于a的最大整
数,比如说[2.5]=2,[4]=4。

  我们首先考虑这样一种布局的集合。假设m,n为两个非负实数,
不同时为0。在编号从1到m+n的m+n个球中,我们知道1到m号球要么是
标准球,要么比标准球重,而m+1到m+n号球要么是标准球,要么比标
准球轻;我们还知道其中有一个是坏球(但不知轻重)。换句话说,
我们知道真实的情况是以下m+n种布局之一:
  1. 1号是坏球,且较重;
  2. 2号是坏球,且较重;
  ……
  m. m号是坏球,且较重;
  m+1. m+1号是坏球,且较轻;
  m+2. m+2号是坏球,且较轻;
  ……
  m+n. m+n号是坏球,且较轻。
有一种特殊的情况是m=0或n=0,也就是说坏球的是轻还是重已经知,常
常被用来单独作为智力题。

结论1:
1)在以上条件成立的情况下,要保证在m+n个球中找出坏球并知道
 其轻重,至少需要称{log3(m+n)}次。
2)如果m和n不同时为1,那么称{log3(m+n)}次就足够了。如果
 m=n=1,并且另有一标准球,那么称{log3(m+n)}={log3(1+1)}=1
 次也足够了。

  这里log3表示以3为底的对数。

  需要对2)作点说明。如果m=n=1而没有标准球的话,那么是永远也
称不出坏球来的。把两个球一边一个放在天平上,必然是1号重2号轻。
但是由于没有标准球,我们无法知道是坏球比较重所以1号是坏的,还
是坏球比较轻所以2号是坏的。如果有标准球,只要把1号球和标准球
比较一下。如果天平不平衡,那么1号球是坏球,且比较重;如果天平
平衡,那么2号球是坏球,且比较轻。策略树如下:(用s表示标准球)

      |--右--(  )
      |
      |
(1; s)|--平--(2轻)
      |
      |
      |--左--(1重)

   现在来证明1)。在上面我们看到,可能的布局是m+n种(1重,2重,
……,m重,m+1轻,m+2轻,……,m+n轻)。假设我们已经有一个策
略能保证在这m+n个球中找出坏球并知道其轻重,那么每一个布局都要
通向策略树上的不同叶子,这棵策略树至少需要有m+n片叶子。但是一
棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子。于是这棵策略树必须满足条

  3H ≥ m+n
也就是
  H ≥ log3(m+n)
考虑到H是整数,我们就证明了
  H ≥ {log3(m+n)}

  现在我们要具体找到一棵高度为{log3(m+n)}的策略树,使得m+n
种布局通向它的不同叶子。我们对k=m+n使用数学归纳法。

  首先k=1。那么称都不要称,因为必有一坏球,那么坏球就是唯一
的1号球。如果是m=1,n=0,那么1号球比较重;如果是m=0,n=1,那
么1号球比较轻。需要的称量次数为{log3(1)}=0。

  对于k=2。m=1,n=1的情况已经讨论过了。考虑m=2,n=0。这时我
们知道坏球比较重。只要把1号球和2号球放在天平两边一称,哪个比较
重哪个就是坏球。策略树如下:

      |--右--(2重)
      |
      |
(1; 2)|--平--(   )
      |
      |
      |--左--(1重)

m=0,n=2的情况完全类似。

  假设对于m+n<k的情况我们都可以用{log3(k)}次称出坏球。考虑
m+n=k的情况。我们把1到m号球称为第一组球,m+1到n号球称为第二组
球。

  设H={log3(m+n)}={log3(k)}。那么我们有
  3H-1 < k ≤ 3H
  3H-2 < k/3 ≤ 3H-1
  3H-2 < {k/3} ≤ 3H-1
于是
  {log3{k/3}}=H-1。

  现在我们把这k个球分为三堆,第一堆和第二堆分别有{k/3}个球,
并且这两堆中属于第一组的球的数目一样(于是属于第二组的球的数
目也一样),第三堆中有k-2{k/3}个球(也就是其余的球)。举一个
例子,如果m=7,n=3,那么这三堆可以分成这样:(当然不是唯一的
分法)
  第一堆:1,2,3,7 (属于第一组的3个,第二组的1个)
  第二堆:4,5,6,8 (属于第一组的3个,第二组的1个)
  第三堆:9,10

  这样的分堆总是可能的吗?如果m或n是偶数,那就很简单。比如
说假设m是偶数,有两种可能性。如果m/2≥{k/3},那么就从第一组球
中各取{k/3}个球作为第一和第二堆(这时在第一第二堆中只有第一组
的球);如果m/2<{k/3},那么就把第一组球分为相同的m/2个球的两
堆,再分别用{k/3}-m/2个第二组球去把它们补充成{k/3}个球的两堆
(这时在第三堆中就只有第二组的球了)。很显然这样的分堆符合上
面的要求。

  如果m和n都是奇数,事情就有点复杂。首先如果(m-1)/2≥{k/3}
的话,那么按上面的方法也很容易把球按要求分为三堆。但是如果
(m-1)/2<{k/3},我们就必须先从第一组中各拿出(m-1)/2个球放入第
一和第二堆,再从第二组中各拿出{k/3}-(m-1)/2个球将它们补充到各
有{k/3}个球为止。这就需要从第二组中总共拿得出2({k/3}-(m-1)/2)
个球来。所以必须有
  2({k/3}-(m-1)/2) ≤ n

  2{k/3} ≤ (m-1)+n
  2{k/3} ≤ k-1
这个不等式在k=3或k>4时总是成立的,但是对k=4就不成立。所以我
们要对k=4且m,n都是奇数的情况作特殊处理。我们只需考虑m=3,n=1
这种情况。把1号球和2号球放在天平两端,如果不平衡,那么较重的
那个是坏球;如果平衡,那么把1号球和3号球放在天平两端,平衡则
4号球为坏球且较轻,不平衡则3号球为坏球且较重。策略树如下:

      |--右--(2重)
      |
      |            |--右--(3重)
(1; 2)|--平--(1; 3)|--平--(4轻)
      |            |--左--(   )
      |
      |--左--(1重)

m=1,n=3的情况完全类似。

  于是现在我们就可以毫无障碍地假设,我们已经将m+n=k个球分为
这样的三堆:第一堆和第二堆分别有{k/3}个球,并且这两堆中属于第
一组的球的数目一样(于是属于第二组的球的数目也一样),第三堆
中有k-2{k/3}个球(也就是其余的球)。

  我们把第一堆球和第二堆球分别放在天平的左右两端。如果平衡,
那就说明坏球在第三堆里,这样我们就把问题归结为一个k-2{k/3}个
球的问题;如果右边比较重,那么我们得到结论:要么是坏球比较轻,
并且它在第一堆中的第二组球,也就是可能较轻的那些球中,要么是
坏球比较重,并且它在第二堆中的第一组球,也就是可能较重的那些
球中,下面它就归结为一个{k/3}个球的问题了;如果是左边比较重,
那么我们也完全类似地将问题归结为一个{k/3}个球的问题。开始的策
略树如下:(小球的编号作了适当变化:假设1,2,……,s为第一堆
中的第一组球,1',2'……,s'为第二堆中的第一组球,(s+1),……
为第一堆中的第二组球,(s+1)'为为第二堆中的第二组球)

                                  归结为坏球在
                           |--右--(1',2',……,s',s+1,……)中
                           |      的问题({k/3}个球)
                           |
                           |
(1,2,……,s,s+1,……;      |
1',2',……,s',(s+1)',……)|--平--归结为坏球在第三堆中的问题
                           |      (k-2{k/3}个球)
                           |
                           |      归结为坏球在
                           |--左--(1,2,……,s,(s+1)',……)中
                                  的问题({k/3}个球)

考虑到k-2{k/3}≤{k/3},另外此次称量后我们至少可以得到一个标准
球(如果不平衡,第三堆里的球均为标准球,否则第一第二堆里的球
均为标准球)。根据归纳假设,上面得到“左”、“平”、“右”三
种情况归结后的问题都可以用{log3{k/3}}=H-1次的称法来解决。所
以加上这第一次称量,k个球只需{log3(k)}次称量就可以找出坏球。

  在这节的最后我们给出一个具体的例子:如果有27个球,其中有
一个坏球,而且已知第一堆1-14号球如果其中一个是坏球,那么它比
标准球重,第二堆15-27号球如果其中一个是坏球,那么它比标准球轻。
根据结果1,我们知道只要[log3(27)]=3次就可以找出坏球。

  按照上面的称法,首先将27个球分为三堆,第一第二堆的个数为
{27/3}=9个球,而且其中分别属于第一和第二组的球的个数相同。于
是我们可以取:
  第一堆: 1-7,15-16
  第二堆:8-14,17-18
  第三堆:19-27
现在把第一和第二堆放在天平左右两端,如果平衡,我们就归结为在
19-27号9个球中其中有个较轻坏球的问题;如果右边重,我们就归结
为坏球在8-14,15-16中的问题;如果左边重,我们就归结为坏球在
1-7,17-18中的问题。这三种情况都是9个球的问题。

            |--右--归结为坏球在8-14,15-16中的问题
            |
            |
(1-7,15-16; |
  8-14,17-18|--平--归结为坏球在19-27中的问题
            |
            |
            |
            |--左--归结为坏球在1-7,17-18中的问题


  三种情况中我们只具体做一种:坏球在1-7,17-18中的问题。同
样地我们将其分为三堆
  第一堆:1-3
  第二堆:4-6
  第三堆:7,17-18
照上面类似地我们有策略树

          |--右--归结为坏球在4-6中的问题
          |
          |
(1-3; 4-6)|--平--归结为坏球在7,17-18中的问题
          |
          |
          |--左--归结为坏球在1-3中的问题

于是变成了3个球的问题,解决方法就很显然了,我们把上面的策略树
写完整:

                        |--右--( 5重)
          |--右--(4 ; 5)|--平--( 6重)
          |             |--左--( 4重)
          |
          |             |--右--(17轻)
(1-3; 4-6)|--平--(17;18)|--平--( 7重)
          |             |--左--(18轻)
          |
          |             |--右--( 2重)
          |--左--(1 ; 2)|--平--( 3重)
                        |--左--( 1重)

类似地我们写出坏球在8-14,15-16中的问题的策略树:

                          |--右--(12重)
            |--右--(11;12)|--平--(13重)
            |             |--左--(11重)
            |
            |             |--右--(15轻)
(8-10;11-13)|--平--(15;16)|--平--(14重)
            |             |--左--(16轻)
            |
            |             |--右--( 9重)
            |--左--(8 ; 9)|--平--(10重)
                          |--左--( 8重)

和坏球在19-27中的问题的策略树:

                           |--右--(19轻)
             |--右--(19;20)|--平--(21轻)
             |             |--左--(20轻)
             |
             |             |--右--(25轻)
(19-21;22-24)|--平--(25;26)|--平--(27轻)
             |             |--左--(26轻)
             |
             |             |--右--(22轻)
             |--左--(22;23)|--平--(24轻)
                           |--左--(23轻)


  于是最终将此三棵策略树拼起来的到最终解法:

                                         |--右--(12重)
                           |--右--(11;12)|--平--(13重)
                           |             |--左--(11重)
                           |
                           |             |--右--(15轻)
             |--右--(8-10; |--平--(15;16)|--平--(14重)
             |       11-13)|             |--左--(16轻)
             |             |
             |             |             |--右--( 9重)
             |             |--左--(8 ; 9)|--平--(10重)
             |                           |--左--( 8重)
             |
             |                           |--右--(19轻)
             |             |--右--(19;20)|--平--(21轻)
             |             |             |--左--(20轻)
             |             |
             |             |             |--右--(25轻)
(1-7,15-16;  |--平--(19-21;|--平--(25;26)|--平--(27轻)
  8-14,17-18)|       22-24)|             |--左--(26轻)
             |             |
             |             |             |--右--(22轻)
             |             |--左--(22;23)|--平--(24轻)
             |                           |--左--(23轻)
             |
             |                           |--右--( 5重)
             |             |--右--(4 ; 5)|--平--( 6重)
             |             |             |--左--( 4重)
             |             |
             |             |             |--右--(17轻)
             |--左--(1-3;  |--平--(17;18)|--平--( 7重)
                       4-6)|             |--左--(18轻)
                           |
                           |             |--右--( 2重)
                           |--左--(1 ; 2)|--平--( 3重)
                                         |--左--( 1重)

  对一棵策略树正确性的验证比较容易(虽然比较烦)。首先检查
是否所有的布局都在某片叶子上了;其次就是检验每个布局经过树中
的每个节点的流向是否正确,就是说用此节点上的称量方法,它所属
的左中右分支符合实际。
Das Leben ist wie eine Schachtel Pralinen. Man weiß nie, was man bekommt!

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记号!

我们先不忙着马上着手解决上述问题。先得给出几个定义,尤其
是,要给出比较简单的符号和记法。大家看到上面给出的解法写起来
实在麻烦——想象一下如果我们要用这种方法来描述称40个或1000个
球的问题!

  仍旧考虑十二个球的情况和上面举的解法。在还没有开始称第一
次时,我们对这十二个球所知的信息就是其中有一或较轻,或较重的
坏球,所以以下24种情况都是可能的:
  1. 1号是坏球,且较重;
  2. 2号是坏球,且较重;
  ……
  12. 12号是坏球,且较重;
  13. 1号是坏球,且较轻;
  14. 2号是坏球,且较轻;
  ……
  24. 12号是坏球,且较轻。
没有其他的可能性,比如说“1、2号都是坏球,且都较重”之类。当
我们按上面解法“先将1-4号放在左边,5-8号放在右边”称过第一次
以后,假设结果是右重,稍微分析一下,就会知道上面的24种情况中,
现在只有8种是可能的,就是
  1. 1号是坏球,且较轻;
  2. 2号是坏球,且较轻;
  3. 3号是坏球,且较轻;
  4. 4号是坏球,且较轻;
  5. 5号是坏球,且较重;
  6. 6号是坏球,且较重;
  7. 7号是坏球,且较重;
  8. 8号是坏球,且较重。
我们把诸如“1号是坏球,且较重,其他球都正常”和“2号是坏球,
且较轻,其他球都正常”这样的情况,称为一种“布局”,并记为:
  (1重) 和 (2轻)
我们把“先将1-4号放在左边,5-8号放在右边”这样的步骤,称为一
次“称量”。我们把上面这次称量记为
  (1,2,3,4; 5,6,7,8)

  (1-4; 5-8)
也就是在括号内写出参加称量的球的号码,并且以分号分开放在左边
和放在右边的球号。在最一开始,我们有24种可能的布局,而在经过
一次称量(1-4; 5-8)后,如果结果是右重,我们就剩下上述8种可能
的布局。我们的目的,就是要使用尽量少的称量,而获得唯一一种可
能的布局——这样我们就知道哪个球是坏球,它是比较重还是比较轻。

  这里我们注意到没有必要去考虑两边球数不相等的称量。因为坏
球和标准球重量之间的差别很小,小于标准球的重量,所以当天平两
边球数不一样时,天平一定向球比较多的那边倾斜。所以在进行这样
一次称量之前,它的的结果就可以被预料到,它不能给我们带来任何
新的信息。事实上在看完本文以后大家就很容易明白,即使坏球和标
准球重量之间的差别很大,也不会影响本文的结论。因为考虑这种情
况会使问题变麻烦,而并不能带来有趣的结果,我们就省略对此的考
虑。

  现在我们看到,上面关于十二个球问题的解法,其实就是由一系
列称量组成的——可不是随随便便的组合,而是以这样的形式构成的:
  称量1
    如果右重,则
      称量3
        ……
    如果平衡,则
      称量2
        ……
    如果左重,则
      称量4
        ……
省略号部分则又是差不多的“如果右重,则……”等等。所以这就提
示我们用树的形式来表示上面的解法:树的根是第一次称量,它有三
个分支(即三棵子树,于是根有三个子节点),分别对应着在这个称
量下的右重、平衡、左重三种情况。在根的三个子节点上,又分别有
相应的称量,和它们的三个分支……如果具体地写出来,就是

                                       |--右--( 1轻)
                         |--右--(1 ; 2)|--平--( 5重)
                         |             |--左--(    )
                         |
                         |             |--右--( 2轻)
         |--右--(1,6-8;  |--平--(2 ; 3)|--平--( 4轻)
         |        5,9-11)|             |--左--( 3轻)
         |               |
         |               |             |--右--( 7重)
         |               |--左--(6 ; 7)|--平--( 8重)
         |                             |--左--( 6重)
         |
         |                             |--右--(10重)
         |               |--右--(9 ;10)|--平--(11重)
         |               |             |--左--( 9重)
         |               |
         |               |             |--右--(12重)
(1-4;5-8)|--平--(1-3;    |--平--(1 ;12)|--平--(13轻, 13重)*
         |          9-11)|             |--左--(12轻)
         |               |
         |               |             |--右--( 9轻)
         |               |--左--(9 ;10)|--平--(11轻)
         |                             |--左--(10轻)
         |
         |                             |--右--( 6轻)
         |               |--右--(6 ; 7)|--平--( 8轻)
         |               |             |--左--( 7轻)
         |               |
         |               |             |--右--( 3重)
         |--左--(1,6-8;  |--平--(2 ; 3)|--平--( 4重)
                  5,9-11)|             |--左--( 2重)
                         |
                         |             |--右--(    )
                         |--左--(1 ; 2)|--平--( 5轻)
                                       |--左--( 1重)
(*:对应十三个球的情形。)
这里“右”、“平”和“左”分别表示称量的结果为“右重”、“平
衡”和“左重”所对应的分支。在树的叶子(就是最右边没有子节点
的那些节点)部分,我们标出了“能够到达”这些节点的布局,也就
是说在进行每一节点上的称量时,这个布局所给的结果和通往相对应
的叶子的道路上所标出的“右”、“平”和“左”相符合。从这个图
我们也可以清楚地看到,根下的左分支和右分支是对称的:只需要把
所有的“右”改成“左”,“左”改成“右”,“轻”改成“重”,
“重”改成“轻”;节点(1-3; 9-11)下的左分支和右分支也有这个
特点。

  (如果有朋友对树理论感兴趣,可以参考随便哪一本图论或者离
散数学的书。在这里我们只用到树理论里最基本的知识,所用的名词
和结论都是相当直观的。所以如果你不知道树理论,用不着特别去学
也可以看懂这里的论证。)

  所以给定一棵三分树(就是说除了叶子以外其他的节点都有三个
子节点的树),在每个不是叶子的节点上给定一个称量,并且规定这
个节点下的三个分支(子树)分别对应右重、平衡、左重的情况,我
们就得到了一种称球的方法。我们把这样一棵三分树称为一个“策略”
或一棵“策略树”。你可以给出一个平凡的策略,比如说无论发生了
什么事总是把1号和2号球放在左右两侧来称(在叶子上我们没有写出
相应的布局,用@来代替):

                   |--右--@A
      |--右--(1; 2)|--平--@
      |            |--左--@
      |
      |            |--右--@
(1; 2)|--平--(1; 2)|--平--@
      |            |--左--@
      |
      |                         |--右--@B
      |            |--右--(1; 2)|--平--@
      |            |            |--左--@
      |            |
      |            |            |--右--@
      |--左--(1; 2)|--平--(1; 2)|--平--@
                   |            |--左--@
                   |
                   |            |--右--@
                   |--左--(1; 2)|--平--@
                                |--左--@

当然这么个策略没什么用场,只能让我们知道1号球和2号球之间的轻
重关系。另外我们看到,每个分支不一定一样长,上面这棵策略树根
下面左分支就比较长。

  一棵树的高度是叶子到根之间的结点数的最大值加一。比如说上
面这个图中,叶子A和根间有1个节点,而叶子B和根间有2个节点,没
有和根之间的节点数超过2的叶子。所以它的高度是2+1=3。前面十二
球解法策略树的高度也是3。一棵没有任何分支,只有根节点的树,我
们定义它的高度是0。

  显然,策略树的高度就是实行这个策略所需要的称量的次数。我
们的目的,就是找到一棵“好”的策略树,使得它的高度最小。

  什么是“好”策略?我们回过头来再看十二球解法策略树。我们
说过,叶子上的那些布局都是从根开始通向叶子的。比如说布局(7重),
它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略,三次称量的结果是“右
左右”;又比如说布局(11重),它之所以在那片叶子上是因为按照这
个策略,三次称量的结果是“平右平”。如果两个布局通向同一片叶
子,那么就是说按照这个策略,三次称量的结果是完全一样的,于是
我们就不能通过这个策略来把这两种布局区分开来。比如说在十三个
球的情况下,(13轻)和(13重)都通向和“平平平”相对应的叶子,这
两个布局中13号球或者轻或者重,于是我们知道13号球一定是坏球,
但是通过这个策略我们不可能知道它到底是轻还是重。

  所以对于标准的称球问题(找出坏球并知其比标准球重或轻)的
“好”策略,就是那些能使不同的布局通向不同的叶子的策略。
Das Leben ist wie eine Schachtel Pralinen. Man weiß nie, was man bekommt!

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